变限积分是用定积分的形式来表示一个函数的原函数的方法，这一点在很多问题中尤为常见（直接用原函数来表示不定积分会引入积分常数的确定问题）。对变限积分求导数，可以在不经过求积分操作的前提下进行。
目录
1 基本形式
2 含参积分
3 复变函数
4 参考资料
基本形式[]
设函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上可积，则函数
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(x) = \int_a^x f(x) \mathrm{d}x}
连续，我们称函数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的一个变上限积分，可以证明变上限积分函数就是被积函数的一个原函数，即有
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t = f(x)}
可以证明，如果积分上限是一个关于
x
{\displaystyle x}
的函数，则有
d
d
x
∫
a
φ
(
x
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^{\varphi(x)} f(t) \mathrm{d}t = f(\varphi(x)) \varphi'(x)}
由于定积分的可加性，更一般地，有如下变限积分的求导法则
d
d
x
∫
ψ
(
x
)
φ
(
x
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
−
f
(
ψ
(
x
)
)
ψ
′
(
x
)
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) \mathrm{d}t = f(\varphi(x)) \varphi'(x) - f(\psi(x)) \psi'(x)}
含参积分[]
对于含参变量的积分，也可以引入变限积分的概念：
设
a
(
x
)
,
b
(
x
)
{\displaystyle a(x), b(x)}
连续于
I
{\displaystyle I}
，二元函数
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x, t)}
连续于
I
×
[
a
,
b
]
{\displaystyle I \times [a, b]}
，且
a
⩽
a
(
x
)
,
b
(
x
)
⩽
b
{\displaystyle a \leqslant a(x), b(x) \leqslant b}
，那么下面的积分称为含参变量的变限积分
I
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle I(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \mathrm{d}t.}
它依然是定义在区间
I
{\displaystyle I}
上的一元实函数。
可以证明它有下述性质：
连续性：
I
(
x
)
{\displaystyle I(x)}
连续于区间
I
;
{\displaystyle I;}
导数：若
f
x
(
x
,
t
)
{\displaystyle f_x (x, t)}
在
I
×
[
a
,
b
]
{\displaystyle I \times [a, b]}
上连续且
a
′
(
x
)
,
b
′
(
x
)
{\displaystyle a'(x), b'(x)}
在
I
{\displaystyle I}
上存在，则
I
′
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
x
(
x
,
t
)
d
t
+
b
′
(
x
)
f
(
x
,
b
(
x
)
)
−
a
′
(
x
)
f
(
x
,
a
(
x
)
)
.
{\displaystyle \begin{align}
I'(x) & = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a(x)}^{b(x)} f (x, t) \mathrm{d}t \\
& = \int_{a(x)}^{b(x)} f_x (x, t) \mathrm{d}t + b'(x) f \big( x, b(x) \big) - a'(x) f \big( x, a(x) \big).
\end{align}}
复变函数[]
单复变函数中复变函数的不定积分的概念就是通过变限积分使用 Cauchy 积分定理来引入的。
若
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
在
D
{\displaystyle D}
上有原函数，那么首先可以写出其中一个原函数是
F
(
z
)
=
∫
z
0
z
f
(
ζ
)
d
ζ
{\displaystyle F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta) \mathrm{d}\zeta}
这也是
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
的一个变上限积分，其中
z
0
∈
D
.
{\displaystyle z_0 \in D.}
由此定义的原函数和一元实函数有诸多相似之处。
参考资料欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
积分学（学科代码：1103420，GB/T 13745—2009）
不定积分
不定积分 ▪ 常见函数的不定积分 ▪ 不定积分的换元积分法 ▪ 有理分式积分法 ▪ 分部积分法 ▪ 配对积分法
黎曼积分
定积分 ▪ 微积分基本定理 ▪ 积分第一中值定理 ▪ 定积分的计算 ▪ 定积分的应用 ▪ 积分第二中值定理
反常积分
无穷限积分和瑕积分 ▪ Cauchy 判别法、Dirichlet 判别法以及 Abel 判别法 ▪ Cauchy 主值
含参积分
含参变量的积分 ▪ 含参变量的反常积分 ▪ Euler 积分（Γ 函数和 B 函数）、Poisson 积分 ▪ Dirichlet 积分 ▪ Frullani 积分、Laplace 积分 ▪ Fresnel 积分 ▪ Lobatchevski 积分 ▪ Fejer 积分
多元积分
积分区域的描述 ▪ 重积分（二重积分、三重积分） ▪ 反常重积分 ▪ 第一型曲线积分 ▪ 第二型曲线积分 ▪ 第一型曲面积分 ▪ 第二型曲面积分 ▪ Green 公式、Gauss 公式以及 Stokes 公式
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